Родился в посёлке Таза (ныне — Солтонский район Алтайского края) в крестьянской семье. Получил неполное среднее образование, учился в сельскохозяйственном техникуме в Бийске.
В 1939 году окончил военное пехотное училище в Омске, участвовал в боях на Халхин-Голе. В 1942 году окончил курсы «Выстрел».
С июня 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. К августу 1944 года гвардии старший лейтенант Гавриил Бердников командовал батальоном 100-го гвардейского полка 35-й гвардейской стрелковой дивизии 8-й гвардейской армии 1-го Белорусского фронта.
1 августа 1944 года батальон Бердникова первым в своём полку форсировал Вислу в районе польского города Магнушев, не понеся при этом потерь. Взаимодействуя с соседними подразделениями, батальон прорвал линию обороны противника и перерезал шоссе Варшава-Магнушев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года Гавриил Бердников был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После окончания войны продолжил службу в Советской Армии. В 1949 году окончил Военную академию имени Фрунзе. В 1960 году в звании полковника вышел в отставку. Проживал в Алма-Ате. Умер 5 мая 1981 года.